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综合评价的层次分析法
层次分析法(Analytical Hierarchy Process，简称AHP)是一种综合了定性与定量分析、使人脑决策思维模型化的决策方法。
(一)层次分析法的基本原理
层次分析法的基本思想是把复杂问题分解成若干层次，在最低层次通过两两对比得出每个因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。
层级分析法的基本假设是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。
(二)层次分析法的基本步骤
1.建立递阶层次结构模型。
AHP的基本方法是建立层次结构模型。建立层次模型，首先要对所解决问题有明确认识。其次，将决策问题层次化。将决策问题划分为若干层次，第一层是总目标层;中间层次称为标准层、准则层;最底层一般称为方案层或措施层。层次结构示意图见图5-19。
决策目标
目标层
准则1
准则2
准则k
准则层 ……
子准则1
子准则m
子准则2
子准则层 ……
方案1
方案n
方案2
方案层 ……
图5-19 AHP层次结构
2.构造判断矩阵
建立层次模型后，可以在各层元素中进行两两比较，判断其相对重要性，构造出判断矩阵。判断矩阵是定性过渡到定量的重要环节。
设 表示反映第i个方案对于最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案(或子目标)的相对重要性为元素，构造的判断矩阵为：
设 ，则判断矩阵的元素 具有如下性质：(1) =1(2) = (3) 判断矩阵A中的元素 可以利用决策者的知识和经验估算出来。由于决策者的估算并不是很准确，因此，第三条性质不一定成立。判断矩阵的元素 及其含义，如表5-4所示。
表5-4 判断矩阵的元素及其含义表
含义(两个目标相对重要性的比较)
1
3
5
7
9
2，4，6，8，
= 两因素相比，具有同样重要性
两因素相比，前者比后者稍重要
两因素相比，前者比后者明显重要
两因素相比，前者比后者重要很多
两因素相比，前者比后者极重要
两因素的相比重要性为上述描述的中间
两因素相比，若前者比后者有上述取值，则后者对前者有其倒数
3.层次单排序及一致性检验。
层次单排序是通过求解判断矩阵的特征根和特征向量，对本层次的所有因素相对于上一层次而言的重要性进行排序。即对判断矩阵A，计算满足下式的特征根和特征向量。
式中 ――A的最大特征根
W――对应于 的正规化特征向量。W的分量 即是相应因素单排序的权值。
常用的计算方法有幂法、方根法及和积法。其中的和积法仅利用计算器便可获得足够的精度。具体计算步骤为：
第一步：将判断矩阵元素按列归一化计算。
(i,j=1,2,…,n)
第二步：将按列归一化后的元素按行相加计算。
(i=1,2,…,n)
第三步：将向量 正规化(或规一化)。
(i=1,2,…,n)
第四步：计算判断矩阵的最大特征根 。
式中 ――向量AW的第i个分量。
第五步：判断矩阵一致性检验
为了检查决策者在构造判断矩阵时的判断思维是否具有一致性，要进行矩阵一致性检验，计算一致性指标和检验系数。
一致性指标的计算公式为：CI=( -n)/(n-1)
检验系数的计算公式为：CR=CI/RI
RI是平均随机一致性指标，可通过表5-5查得。
表5-5 RI系数表
维数n12345678910
RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.451.49
一般情况下，相对一致性指标CR愈小，判断矩阵的一致性愈好。当CR<0.1时，一般认为判断一致性要求。否则，需要重新调整判断矩阵。
4.层次总排序及一致性检验。
通过一致性检验后，便可将按规一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要性的排序加权值，然后从高层次到低层次逐层计算排序权值，得到层次总排序。
设上层次因素 ，已知的排序权值分别为 ，且 ;又知下层次因素为 ，相对于上层次 的下层次因素 的单排序权值分别为 ， ，...， ，且 ;下层次因素 的总排序权值为：
(j=1,2,…,n) 且 最后对总排序的一致性检验。总排序一致性检验计算公式为：
CR=CI/RI
当CR<0.1时，可认为层次总排序的计算结构具有满意的一致性。
利用层次单排序的结果，计算本层次所有元素对上层次相对重要性的数值，层次总排序自上而下逐层进行，最后得出各方案相对总目标的权重。
(三)层次分析法的应用
层次分析法可以广泛应用于多目标决策、多方案选择、综合评价等各方面。
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