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定理1(收敛定理，狄利克雷充分条件) 设 是周期为 的周期函数. 如果 满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点. 则 的傅里叶级数收敛，并且
(1) 当x是 的连续点时, 级数收敛于f(x) ;
(2) 当x是 的间断点时, 收敛于 
.
狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数 在区间 上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数 的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.
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