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【 例 3 - 24 】 利用对称性计算图 3 - 62 ( a )所示结构,作出内力图。
该结构是一个对称的静定结构。因受对称荷载作用,故其内力必然是对称的。
注意到截面 D 处于对称轴上,故该截面上只有水平轴力,而剪力为零(否则该截面上的竖向力不对称)。于是取出半边结构 ABCD 如图 3 -62 ( b )所示,该半边结构的弯矩图无需计算支座反力即可快速绘出。
因 D 处水平反力对 CD 杆的弯矩没有影响,据此可直接求得MCD=MCB=Pa / 2 (外侧受拉)。又因 ABC 区段的弯矩图为一直线,故连接 C 、 B 两点的弯矩竖标并延伸至 A 点,即可得到该区段的弯矩图( 3 -62c )。
整体结构的弯矩、剪力和轴力图如图 3 -62 ( d )、(e)、( f )所示。
由上例计算结果可以看到,对称结构作用对称荷载,其内力是对称的,表现在内力图上则是:轴力图和弯矩图是正对称的,而剪力图是反对称的。实际上,在任意两个对称截面上,剪力本身的大小和指向仍是正对称的,只是由于剪力的符号规定(绕隔离体顺时针转为正)使得剪力图为反对称。
类似地,对称结构在反对称荷载作用下,轴力图和弯矩图是反对称的,而剪力图是正对称的(剪力的大小和指向仍是反对称的)。
2 .取半边结构简化计算
对称结构在对称或反对称荷载作用下,一种较有效的简化分析方法是根据对称性取出半边结构进行计算,再由对称性作出整体结构的内力图。
例如图 3 -63 ( a )所示对称结构(奇数跨)作用正对称荷载,与对称轴重合的截面 C 上将只有对称的轴力和弯矩,而剪力为零;若从变形上看,则截面 C 只有竖向位移,而水平和转角位移必为零。这样,如果取半边结构分析,则截面 C 处可用一竖向滑动支承代替(图 3 -63b )。
对于图 3 -64 ( a )所示作用反对称荷载的情形,与对称轴重合的截面 C 上的轴力和弯矩必为零,截面 C 的竖向位移也必为零;如果取半边结构分析,则截面 C 处可用一竖向链杆支承代替(图 3 -64b )。
图 3 -65 ( a )所示对称结构(偶数跨),杆件 CD 位于对称轴上。在正对称荷载作用下,杆件 CD 只有轴力和轴向变形(否则不对称)。由于刚架计算中通常忽略杆件的轴向变形,这样截面 C 将没有任何位移,即与固定支座相当,如图 3 -66 ( a )所示为作用反对称荷载的情形,取出半边结构如图 3 -65 ( b )所示。
与对称轴重合的杆件 CD 上的轴力和轴向变形为零(其他内力和变形一般不为零)。如果取半边结构分析,则需将杆件 CD 的刚度折半,其计算简图如图 3 66 ( b )所示。在半边结构计算中,杆件 CD 的轴力虽不为零,但由于该半边的内力与另半边反对称,因此叠加后杆件 CD 上的轴力仍为零。