本题考察的是侵犯商业秘密行为应承担的法律责任类型及后果。

A正确：侵犯商业秘密的行为可能承担的法律责任有民事责任、行政责任和刑事责任。

B错误：商业秘密具有财产权的属性，侵犯商业秘密的行为属于民事侵权，因此民事救济是商业秘密的首要保护方式。

C错误：目前，我国负责制止不正当竞争的监督检查部门是市场监督管理部门。

D错误：依法追究侵犯商业秘密行为人刑事责任的途径包括公诉和自诉。

故本题选择A选项。