【解析】本题考查对志愿服务组织为志愿者提供无偿记录证明义务的识别与应用。根据指导教材，志愿服务组织的义务包括如实记录志愿者参与志愿服务活动的相关信息，按照标准录入信息系统，做好志愿服务记录；根据志愿者的需要，如实、无偿提供志愿服务记录证明。题干中小陈申请服务时长证明，组织应“如实、无偿提供”，选项A正确。选项B“收取费用”违反“无偿提供”的要求；选项C“补充党建培训”与提供证明无关，不属于义务；选项D“泄露服务记录”违反"保护志愿者信息”的义务。B、C、D均为错误行为，故本题正确答案选A。

【考核知识点】志愿服务组织的权利与义务