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二十四、数据特征的测度
1、 统计数据特征的测度，主要从三个方面进行：
①分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠扰或聚集的程度;
②分布的离散程度，反映各数据远离中心值的趋势;
③分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。
2、集中趋势的测度
集中趋势，是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度，主要包括：
①位置平均数，指按数据的大小顺序或出现频数的多和，确定的集中趋势的代表值。主要有：众数、中位数等;
②数值平均数，根据全部数据计算出来的平均数。主要有：算术平均数、几何平均数等。
位置平均数
1)众数 一组数据中出现频数最多的那个数值，用M0表示。
用众数反映集中趋势，不仅适用于品质数据，也适用于数值型数据。众数是一个位置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。
2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序进行排列，位置居中的数值叫做中位数，用
表示。
根据未分组数据计算中位数时：①对数据进行排序;②确定中位数的位置，其公式为：中位数位置=
;③确定中位数的具体数值。
当n为奇数时：
当n为偶数时：
中位数主要用于顺序数据，也适用于数值型数据，但不适用于分类数据。中位数也是一个位置代表值，不受极端值的影响，抗干扰性强。
3)算术平均数
全部数据的算术平均，又称均值，用
表示。算术平均数是集中趋势最主要的测度值。它主要适用于数值型数据，但不适用于品质数据。
简单算术平均数：
加权算术平均数：主要用于处理经分组整理的数据。
计算时先计算组中值，之后再计算加权算术平均数。
计算和运用算术平均数须注意：1)算术平均数同时受到两个因素的影响：各组数值的大小;各组分布频数的多少;2)算术平均数易受极端值的影响。
4)几何平均数
n个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。简单的几何平均数的计算公式：
= 
熟悉几何平均数的主要用途：1)对比率、指数等进行平均;2)计算平均发展速度。
集中趋势的测度总结
| 类型 | 具体指标 | 与极端值的关系 | 与数据类型的关系 |
| 位置平均数 | 众数 | 不受极端值影响 | 既适用于品质数据，也适用于数值型数据 |
| 中位数 | 不受极端值影响 | 不适用于分类数据 | |
| 数值平均数 | 算术平均数 | 受极端值影响 | 适用于数值型数据，但不适用于品质数据 |
| 几何平均数 | 受极端值影响 | 适用于观察值之间存在连乘积关系的数值型数据 |
3、离散程度的测度
离散程度，是指数据之间的差异程度或频数分布的分散程度。离散程度的测度，主要包括极差、方差和标准差、离散系数等。
①极差，极差是最简单的变异指标，是总体或分布中最大的标志值与最小的标志值之差，又称全距，用R表示。
极差反映的是变量分布的变异范围或离散幅度，在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差。极差仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布情况，同时易受极端值的影响。
②标准差和方差
标准差，总体所有单位标志值与其平均数离差之平方的平均数的平方根，用
表示。
1) (用于未整理的原始数据)
2) (用于分组的数据)
方差，就是标准差的平方，用
来表示。
1) (用于未整理的原始数据)
2) (用于分组的数据)
标准差与方差是应用最广泛的统计离散程度的测度方法。
③离散系数
极差、标准差和方差等都是反映数据分散程度的绝对值。为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测定值的影响，需要计算离散系数。
离散系数，也称标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的算术平均数之比，是测度数据离散程度的相对指标，用
表示，其计算公式为：
(掌握)
离散系数主要是用于比较不同组别数据的离散程度。离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
集中程度和离散程度的测度
类型 | 具体指标 | 与极端值的关系 | 与数据类型的关系 | |
| 集中程度 | 位置平均数 | 众数 | 不受极端值影响 | 既适用于品质数据，也适用于数值型数据 |
| 中位数 | 不适用于分类数据 | |||
| 数值平均数 | 算术平均数 | 受极端值影响 | 适用于数值型数据，但不适用于品质数据 | |
| 几何平均数 | 适用于观察值之间存在连乘积关系的数值型数据 | |||
| 离散程度 | 绝对值 | 极差 | 适用于数值型数据 | |
| 标准差 | ||||
| 方差 | ||||
| 相对值 | 离散系数 |
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