结构工程师基础科目（二）辅导：三铰拱和三铰刚架

　　七、三铰拱和三铰刚架的内力计算

　　图2―6(a)所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为 拱形结构。而图2―6(b)所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结 构称为曲梁。图2―6(c)所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它 是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故 有时做成图2―6(d)所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。

    三铰拱的有关术语表示在图2―6（c）中，工程中常用的矢跨比f／l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。

    (一)三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算

    拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。

    支座反力

    由图2―7(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为

    V_A＝V_A⁰                                                                                  (2―1)

    V_B＝V_B⁰                                                                                  (2―2)

H_A＝H_B＝H＝M_C⁰ ／f                                                                (2―3)

    式中V_A⁰、V_B⁰、M_C⁰分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代    梁，图2―7b)支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。

    式(2―3)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。若f＝0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。

取图2―7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为

    M_D＝M_D⁰―Hy_D                                                                           (2―4)

    V_D＝V_D⁰cosφ_D－Hsinφ_D                                                              (2―5)

    N_D＝V_D⁰sinφ_D＋Hcosφ_D                                                              (2―6)

    式中M_D、V_D、N_D的正方向如图2―7c所示，M_D⁰、V_D⁰为代梁D截面的弯矩、剪力，y_D、φ_D的含意如图2―7a所示。在图示坐标系中，φ_D在左半拱内为正，在右半拱内为负。

    三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多    边形及压力线(索多边形)来确定其内力。

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(二)三铰拱的合理拱轴

    在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。

三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2―4)等于零，得合理拱轴方程为

    y＝M⁰／H                                                                            (2―7)

      图2―8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2－7)推导如下：

    按图2―8a所示坐标系，将代梁(图2―8b)的弯矩方程

    M⁰＝qx（l－x）／2                                                     

及拱的水平推力

    H＝M_C⁰／f＝ql²／8f

代人式(2―7)得拱的合理拱轴方程为

    y＝4fx（l－x）／l²                                                                     (2―8)

    顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线；在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。

    (三)三铰刚架的内力计算

    分析图2―9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。

    1．计算支座反力

    计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。经计算得

H_A＝1.33qa；V_A＝24qa

    H_B＝13.33qa；V_B＝46qa

    2．计算各杆端截面内力并绘制内力图

    支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方    法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2－9b、c、d所示。