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一、余数特性的基本应用
【例】一个数能被3、5、7整除,若用11去除这个数则余1,这个数最小是多少?( )
A.105 B.210 C.265 D.375
【答案】B
【解题关键点】这个数能被3、5、7整除,因此这个数是105的倍数,若这个数是105,105除以11的余数是6,不符合题意;若这个数是105×2=210,210除以11的余数是1,满足题意,因此这个数最小是210。
二、多个余数的问题
1、余同
【例】五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人一排,多出一人;如果10人排一行,同样多出一个人。这两个班最少共有多少人?( )
A.51 B.71 C.91 D.101
【答案】C
【解题关键点】此题为剩余定理问题中余同的情况,即人数减去一人的话就是9和10的公倍数,9和10的最小公倍数是90,因此两个班最少共有90+1=91人。
2、和同
【例】袋子里有一百多个小球,五个五个取出来剩余4个,六个六个取出来剩余3个,八个八个取出来剩余一个,问袋子里面有多少个球?( )
A.109 B.119 C.129 D.139
【答案】C
【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的和同的情形,份容易得出9是满足以上两个条件的最小自然数,由于袋子里面有一百多个球,因此只需要加上5、6和8的最小公倍数120即可,即袋子里面有9+120=129个小球。
3、差同
【例】把几百个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份7个余6个。这堆苹果共有多少个?( )
A.111 B.143 C.251 D.503
【答案】D
【解题关键点】此题为剩余定理问题中差同的情况,即苹果数加上一个,就是7、8和9的公倍数,而7、8和9的最小公倍数数504,正好在几百的范围内,因此这堆苹果有504-1=503个。
【例】一个自然数被6除余4,被8除余6被10除余8,那么这个数最小为多少?( )
A.58 B.66 C.118 D.126
【答案】C
【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个自然数加上2后,就能够被6、8和10整除,而6、8和10的最小公倍数是120,因此,这个数最小为120-2=118.
【例】一个数被4除余1,被5除余2,被6除余3,这个数最小是几?( )
A.10 B. 33 C.37 D.57
【答案】C
【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个数加上3后,为4、5、6的倍数,而4、5、6的最小公倍数为60,因此这个数最小为60-3=57。
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